九章算术卷第八 方程
作者：〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉，九斗、四分斗之一，
中禾一秉，四斗、四分斗之一，
下禾一秉，二斗、四分斗之三。方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。〔二〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。
〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：上禾一秉实二十五分斗之九，
中禾一秉实二十五分斗之七，
下禾一秉实二十五分斗之四。术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。
正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。〔四〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉五升，
下禾一秉二升。术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。〔五〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？荅曰：
上禾一秉实八升，
下禾一秉实三升。
术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。〔六〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实八斗，
下禾一秉实三斗。
术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。
〔七〕今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何？
荅曰：
牛一，直金一两、二十一分两之一十三，
羊一，直金二十一分两之二十。
术曰：如方程。〔八〕今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱適足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？
荅曰：
牛价一千二百，
羊价五百，豕价三百。
术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。
〔九〕今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡適平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？
荅曰：
雀重一两、一十九分两之十三，
燕重一两、一十九分两之五。
术曰：如方程，交易质之，各重八两。
〔一０〕今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？
荅曰：
甲持三十七钱半，乙持二十五钱。术曰：如方程，损益之。〔一一〕今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？
荅曰：马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。
术曰：如方程，损益之。
〔一二〕今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？
荅曰：
武马一匹力引二十二石、七分石之六，
中马一匹力引十七石、七分石之一，下马一匹力引五石、七分石之五。
术曰：如方程各置所借，以正负术入之。
〔一三〕今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。问井深、綆长各几何？
荅曰：井深七丈二尺一寸。
甲綆长二丈六尺五寸，
乙綆长一丈九尺一寸，
丙綆长一丈四尺八寸，
丁綆长一丈二尺九寸，
戊綆长七尺六寸。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何？
荅曰：
白禾一步实一百一十一分斗之三十三，
青禾一步实一百一十一分斗之二十八，
黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，
黑禾一步实一百一十一分斗之一十。
术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。
〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？荅曰：
甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，
丙禾一秉重二十三分石之十。
术曰：如方程，置重过於石之物为负。以正负术入之。
〔一六〕今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？
荅曰：
令一人食一百二十二分鸡之四十五，
吏一人食一百二十二分鸡之四十一，
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。术曰：如方程，以正负术入之。
〔一七〕今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？
荅曰：
羊价一百七十七，
犬价一百二十一，
鸡价二十三，
兔价二十九。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一八〕今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？
荅曰：
麻一斗七钱，
麦一斗四钱，
菽一斗三钱，
荅一斗五钱，
黍一斗六钱。
术曰：如方程，以正负术入之。
荅曰：
上禾一秉，九斗、四分斗之一，
中禾一秉，四斗、四分斗之一，
下禾一秉，二斗、四分斗之三。方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。〔二〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。
〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：上禾一秉实二十五分斗之九，
中禾一秉实二十五分斗之七，
下禾一秉实二十五分斗之四。术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。
正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。〔四〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉五升，
下禾一秉二升。术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。〔五〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？荅曰：
上禾一秉实八升，
下禾一秉实三升。
术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。〔六〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实八斗，
下禾一秉实三斗。
术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。
〔七〕今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何？
荅曰：
牛一，直金一两、二十一分两之一十三，
羊一，直金二十一分两之二十。
术曰：如方程。〔八〕今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱適足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？
荅曰：
牛价一千二百，
羊价五百，豕价三百。
术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。
〔九〕今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡適平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？
荅曰：
雀重一两、一十九分两之十三，
燕重一两、一十九分两之五。
术曰：如方程，交易质之，各重八两。
〔一０〕今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？
荅曰：
甲持三十七钱半，乙持二十五钱。术曰：如方程，损益之。〔一一〕今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？
荅曰：马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。
术曰：如方程，损益之。
〔一二〕今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？
荅曰：
武马一匹力引二十二石、七分石之六，
中马一匹力引十七石、七分石之一，下马一匹力引五石、七分石之五。
术曰：如方程各置所借，以正负术入之。
〔一三〕今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。问井深、綆长各几何？
荅曰：井深七丈二尺一寸。
甲綆长二丈六尺五寸，
乙綆长一丈九尺一寸，
丙綆长一丈四尺八寸，
丁綆长一丈二尺九寸，
戊綆长七尺六寸。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何？
荅曰：
白禾一步实一百一十一分斗之三十三，
青禾一步实一百一十一分斗之二十八，
黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，
黑禾一步实一百一十一分斗之一十。
术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。
〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？荅曰：
甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，
丙禾一秉重二十三分石之十。
术曰：如方程，置重过於石之物为负。以正负术入之。
〔一六〕今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？
荅曰：
令一人食一百二十二分鸡之四十五，
吏一人食一百二十二分鸡之四十一，
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。术曰：如方程，以正负术入之。
〔一七〕今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？
荅曰：
羊价一百七十七，
犬价一百二十一，
鸡价二十三，
兔价二十九。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一八〕今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？
荅曰：
麻一斗七钱，
麦一斗四钱，
菽一斗三钱，
荅一斗五钱，
黍一斗六钱。
术曰：如方程，以正负术入之。